本章目标
- 理解排列、逆序数与奇偶性的概念。
- 掌握 n 阶行列式的定义（不同行不同列乘积的代数和）。
- 熟记行列式的基本性质并能化简计算。
- 会用代数余子式按行/列展开降阶计算。
- 会应用克拉默法则求解系数行列式非零的线性方程组。
核心提示：行列式本质是一个将方阵映射为实数（带符号体积）的函数，其符号记录变换是否翻转了定向。
一、排列与逆序数
由 $1,2,\dots,n$ 组成的一个有序数组称为一个 n 元排列。在一个排列中，若较大的数排在较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 $\tau(p_1p_2\cdots p_n)$。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，为偶数的称为偶排列。对换（交换排列中两个数）改变排列的奇偶性。
例题：求排列 $3\,1\,4\,2$ 的逆序数。
解：逐个数逆序：$3$ 后面比它小的有 $1,2$（2 个）；$1$ 后面没有更小的（0 个）；$4$ 后面比它小的有 $2$（1 个）；$2$ 在末位（0 个）。故 $\tau=2+0+1+0=3$，为奇排列。
二、n 阶行列式的定义
设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，其行列式定义为所有不同行不同列元素乘积的代数和：
$$ |A|=\det A=\sum_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdots p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} $$
其中求和遍历 $1,2,\dots,n$ 的全部 $n!$ 个排列。二阶、三阶有便于记忆的展开式：
$$ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc $$
$$ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} $$
注：三阶及以下的"对角线法则"仅对 $n\le3$ 成立，n 阶必须用定义或性质计算。
三、行列式的性质
- 转置不变： $\det A^\top=\det A$。
- 换行（列）变号： 交换行列式的两行（或两列），行列式变号；若两行（列）相同，则行列式为 $0$。
- 提公因子： 某一行（列）所有元素同乘 $k$，等于行列式整体乘 $k$。
- 某行倍数加至另一行不变： 把第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行，行列式值不变。
- 三角行列式： 上（下）三角行列式等于主对角线元素的乘积：
$$ \begin{vmatrix}a_{11}&&\cdots&\\0&a_{22}&\cdots&*\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$
注：利用"某行倍数加至另一行"把方阵化为三角形，是计算高阶行列式最常用的方法（本质即高斯消元）。
四、按行/列展开与代数余子式
在 $n$ 阶行列式 $|\,A\,|$ 中划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行与第 $j$ 列，剩余元素构成的 $(n-1)$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$；其代数余子式为
$$ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} $$
行列式可按任意一行（列）展开降阶：
$$ \det A=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\quad(\text{按第 }i\text{ 行}) $$
并且不同行（列）元素与另一行（列）代数余子式的乘积之和为 $0$：$\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=0\ (i\neq j)$。
五、克拉默法则
对于 $n$ 元线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$，若系数行列式 $D=\det A\neq0$，则方程组有唯一解，且
$$ x_i=\frac{D_i}{D},\qquad i=1,2,\dots,n $$
其中 $D_i$ 是把 $D$ 的第 $i$ 列换成常数列 $\boldsymbol{b}$ 后所得的行列式。
注：克拉默法则给出了解的显式公式，但计算量随 $n$ 增长为 $O(n\cdot n!)$ 量级的展开，实际求解高阶方程组多用高斯消元；它更常用于理论推导。
六、交互模拟：矩阵变换与面积缩放
矩阵 $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 把单位正方形映射到平行四边形。行列式 $\det M=ad-bc$ 的绝对值等于该平行四边形的面积（面积缩放因子）；若 $\det M$ 为负则变换翻转了定向；$\det M\approx0$ 时图形退化（面积为 0，矩阵不可逆）。拖动滑块改变 $a,b,c,d$，观察平行四边形面积与 det 读数：它正是该线性变换对单位面积（=1）的缩放倍数。
$$ \det M = ad - bc $$
例题与解答
例题1（三阶计算）
计算 $\begin{vmatrix}1&2&0\\3&1&-1\\0&2&4\end{vmatrix}$。
解：按第一行展开：
$$ \begin{aligned} D&=1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\2&4\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}3&-1\\0&4\end{vmatrix}+0\\ &=1\cdot(1\cdot4-(-1)\cdot2)-2\cdot(3\cdot4-(-1)\cdot0)\\ &=(4+2)-2\cdot12=6-24=-18. \end{aligned} $$
例题2（克拉默法则解 2×2）
用克拉默法则解 $\begin{cases}2x+3y=8,\\ x-y=1.\end{cases}$
解：$D=\begin{vmatrix}2&3\\1&-1\end{vmatrix}=2(-1)-3\cdot1=-5$。
$$ D_x=\begin{vmatrix}8&3\\1&-1\end{vmatrix}=8(-1)-3\cdot1=-11,\quad D_y=\begin{vmatrix}2&8\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot1-8\cdot1=-6. $$
故 $x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{-11}{-5}=\dfrac{11}{5}$，$y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{-6}{-5}=\dfrac{6}{5}$。验证：$2\cdot\frac{11}{5}+3\cdot\frac{6}{5}=\frac{22+18}{5}=8$ ✓。
本章小结
- 逆序数决定排列的奇偶性，是行列式符号的根源。
- 行列式 = 所有不同行不同列乘积的代数和，符号由排列奇偶性给出。
- 性质是化简的核心：换行变号、提公因子、倍加不变、三角行列式=对角积。
- 代数余子式可按任一行/列展开降阶；异行元素与代数余子式乘积和为 0。
- 克拉默法则：当 $\det A\neq0$ 时 $x_i=|A_i|/|A|$，给出唯一解的显式公式。
- 几何意义：$\det A$ 是线性变换的带符号体积缩放因子。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。