§1
傅里叶变换与拉普拉斯变换是连接"时域"与"频域/复频域"的桥梁，广泛应用于信号、控制、微分方程求解与量子力学。它们都可视为某种意义下的"积分变换"。
本章目标
- 回顾傅里叶级数与傅里叶变换，理解频域视角。
- 掌握拉普拉斯变换的定义、性质与常用变换对。
- 会用拉普拉斯变换将线性常系数微分方程化为代数方程。
一、傅里叶级数回顾
周期为 $T$ 的函数可展开为三角级数（基频 $\omega_0=2\pi/T$）：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos n\omega_0 t+b_n\sin n\omega_0 t\big).$$
复指数形式更紧凑：
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t},\qquad c_n=\frac{1}{T}\int_{T} f(t)e^{-in\omega_0 t}\,dt.$$
下方画板演示用前 $N$ 项正弦谐波合成方波——项数越多越逼近。
二、傅里叶变换
将周期趋于无穷，得到非周期函数的傅里叶变换：
$$\hat f(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt,$$
反变换：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.$$
它把信号分解到连续频率分量，是频谱分析的数学基础。
三、拉普拉斯变换
拉普拉斯变换针对 $t\ge0$ 的信号，引入衰减因子 $e^{-st}$（$s=\sigma+i\omega$ 为复频率）：
$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.$$
相比傅里叶变换，它更适合处理初值问题（初值自动进入代数方程），且对增长型函数也收敛。
导数公式：
$$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),\qquad \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0).$$
求解 ODE： 对方程两边取变换 $\to$ 解代数方程得 $Y(s)$ $\to$ 反变换 $\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}$ 得 $y(t)$。
四、常见变换对
| $f(t)$ | $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ |
|---|---|
| $1$ | $\dfrac{1}{s}$ |
| $e^{at}$ | $\dfrac{1}{s-a}$ |
| $t^n$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ |
| $\sin at$ | $\dfrac{a}{s^2+a^2}$ |
| $\cos at$ | $\dfrac{s}{s^2+a^2}$ |
下方画板演示 $f(t)=e^{-at}$ 与其拉普拉斯变换 $F(s)=1/(s+a)$ 的对应（拖动 $a$ 观察极点 $s=-a$ 的移动）。
五、例题与解答
例题1（拉普拉斯变换求 ODE）
用拉普拉斯变换求解 $y''-y=0,\ y(0)=0,\ y'(0)=1$。
解： 令 $Y(s)=\mathcal{L}\{y\}$，取变换得
$$(s^2-1)Y=s\cdot0+1-0\cdot0-1\cdot y(0)\ \Rightarrow\ (s^2-1)Y=1,$$
$$Y(s)=\frac{1}{s^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\right).$$
反变换得
$$y(t)=\frac{1}{2}\big(e^{t}-e^{-t}\big)=\sinh t.$$
例题2（变换对验证）
求 $\mathcal{L}\{e^{-at}\}$ 并验证。
解：
$$\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\int_0^{\infty} e^{-st}e^{-at}\,dt=\int_0^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a}\quad(\operatorname{Re}s>-a).$$
下方画板中 $a=0.5$ 时 $F(s)=1/(s+0.5)$，极点位于 $s=-0.5$。
六、本章小结
- 傅里叶级数（周期）→ 傅里叶变换（非周期）：$\hat f(\omega)=\int f(t)e^{-i\omega t}dt$。
- 拉普拉斯变换 $F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$，复频率 $s=\sigma+i\omega$。
- 导数公式 $\mathcal{L}\{f'\}=sF-f(0)$ 使初值问题化为代数方程。
- 常用对：$1\to 1/s,\ e^{at}\to 1/(s-a),\ \sin at\to a/(s^2+a^2),\ \cos at\to s/(s^2+a^2)$。
- 傅里叶看"频谱"，拉普拉斯看"复频域"，二者皆为积分变换思想。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
傅里叶级数合成方波：谐波项数 N 越多越逼近。
拉普拉斯变换：f(t)=e^{−at} ⇄ F(s)=1/(s+a)，拖动 a 观察极点 s=−a。