§1
解析函数最深刻的性质之一是"积分与路径无关"以及"边界决定内部"。柯西积分定理与公式是复变函数算积分、证明定理的基石。
本章目标
- 理解复积分的定义与计算。
- 掌握柯西积分定理：单连通域内解析 ⇒ 闭曲线积分为 0。
- 掌握柯西积分公式及其高阶导数公式，体会解析函数的"刚性"。
一、复积分的定义
沿曲线 $C$ 的复积分为
$$\int_C f(z)\,dz=\int_C (u\,dx-v\,dy)+i\int_C (v\,dx+u\,dy),$$
其中 $f(z)=u+iv$，且 $z=x+iy$。若 $C$ 由参数 $z(t)=x(t)+i y(t)\ (a\le t\le b)$ 给出，则
$$\int_C f(z)\,dz=\int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt.$$
参数化计算例：求 $\displaystyle\int_C \bar z\,dz$，$C$ 为单位圆 $|z|=1$ 逆时针。令 $z=e^{it}\ (0\le t\le2\pi)$，则 $\bar z=e^{-it},\ dz=ie^{it}dt$，于是
$$\int_C \bar z\,dz=\int_0^{2\pi}e^{-it}\cdot i e^{it}dt=\int_0^{2\pi}i\,dt=2\pi i.$$
（注意 $\bar z$ 不解析，故积分一般不为 0。）
二、柯西积分定理
定理. 若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则沿 $D$ 内任意闭曲线 $C$：
$$\oint_C f(z)\,dz=0.$$
由此推出：在单连通解析域内，复积分只与端点有关，与路径无关（类比实函数的保守场）。
> 若存在奇点，积分一般不为零——这正引出柯西积分公式与留数定理。
定理证明思路
把复积分拆成两个实积分，对应 $P=u,\ Q=-v$ 与 $P'=v,\ Q'=u$。若 $f$ 解析，由 C-R 方程 $\partial u/\partial x=\partial v/\partial y,\ \partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$ 可得
$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q'}{\partial x}-\frac{\partial P'}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0,$$
即两组都满足格林公式的保守场条件。于是对闭曲线 $C$ 围成的区域 $G$ 有实部、虚部分别为 0，故 $\oint_C f(z)\,dz=0$。（要求偏导数连续，即 $f$ 在闭区域上解析。）
三、柯西积分公式
若 $f$ 在闭曲线 $C$ 及其内部解析，$a$ 在 $C$ 内部，则 $f$ 在 $a$ 的值可由边界上的积分完全确定：
$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$
推论——高阶导数公式：
$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz.$$
> 柯西积分公式说明：解析函数在边界上的值决定其内部一切点的值与任意阶导数——解析函数具有惊人的"刚性"。
柯西积分公式的证明思路
以 $a$ 为圆心作小圆 $C_r:|z-a|=r$（$r$ 足够小使 $C_r$ 在 $C$ 内）。在 $C$ 与 $C_r$ 之间的环形区域上，函数 $f(z)/(z-a)$ 解析（奇点 $a$ 已被挖去），由柯西定理，沿 $C$ 正向与沿 $C_r$ 负向的积分相等：
$$\oint_C \frac{f(z)}{z-a}\,dz=\oint_{C_r} \frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$
在 $C_r$ 上 $z-a=re^{i\theta}$，故
$$\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\int_0^{2\pi}\frac{f(a+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}\,i re^{i\theta}d\theta=i\int_0^{2\pi}f(a+re^{i\theta})\,d\theta.$$
令 $r\to0$，由 $f$ 连续得 $f(a+re^{i\theta})\to f(a)$，积分趋于 $i\cdot 2\pi f(a)=2\pi i\,f(a)$。于是
$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$
四、例题与解答
例题1（用柯西积分公式求值）
设 $f$ 解析，$C$ 为 $|z|=2$，求 $\displaystyle\oint_C \frac{z^2}{z-1}\,dz$。
解： 被积函数 $\dfrac{z^2}{z-1}$，奇点 $z=1$ 在 $|z|=2$ 内部。由柯西积分公式（取 $g(z)=z^2$，则 $g$ 解析）：
$$\oint_C \frac{g(z)}{z-1}\,dz=2\pi i\,g(1)=2\pi i\cdot 1=2\pi i.$$
例题2（用导数公式）
求 $\displaystyle\oint_{|z|=3} \frac{e^z}{(z-2)^2}\,dz$。
解： 奇点 $z=2$ 在 $|z|=3$ 内部。由 $n=1$ 阶导数公式，被积为 $\dfrac{e^z}{(z-2)^2}=\dfrac{f(z)}{(z-2)^{1+1}}$，其中 $f(z)=e^z$：
$$\oint_C \frac{e^z}{(z-2)^2}\,dz=2\pi i\,f'(2)=2\pi i\,e^2.$$
例题3（路径无关性）
计算 $\displaystyle\int_{0}^{1+i} z^2\,dz$。
解： $z^2$ 全平面解析，积分与路径无关，可沿任意路径，例如先求原函数 $\dfrac{z^3}{3}$：
$$\int_{0}^{1+i} z^2\,dz=\left[\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{1+i}=\frac{(1+i)^3}{3}=\frac{(1+i)^2(1+i)}{3}=\frac{2i(1+i)}{3}=\frac{-2+2i}{3}.$$
例题4（高阶导数 $n=2$）
求 $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{(z-1)^3}\,dz$。
解： 奇点 $z=1$ 在内部，对应 $n=2$、$a=1$、$f(z)=\sin z$。由高阶导数公式：
$$\oint_C\frac{\sin z}{(z-1)^3}\,dz=\frac{2\pi i}{2!}f''(1)=\pi i\cdot(-\sin 1)=-\pi i\sin 1.$$
五、练习
1. 计算 $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{1}{z-2}\,dz$。
2. 计算 $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{z}{(z+1)^2}\,dz$。
3. 设 $f$ 在 $|z|=1$ 内解析且 $f(0)=3$，求 $\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{f(z)}{z}\,dz$。
提示/答案
- 1. 奇点 $z=2$ 在内部，由公式得 $2\pi i\cdot 1=2\pi i$。
- 2. $a=-1$ 在内部，$f(z)=z$，$n=1$，积分 $=2\pi i\,f'(-1)=2\pi i\cdot 1=2\pi i$。
- 3. 由柯西积分公式即 $f(0)=3$。
六、本章小结
- 复积分 $\oint_C f(z)dz$ 可化为实积分；解析时与路径无关。
- 柯西积分定理：单连通域内解析 $\Rightarrow \oint_C f(z)dz=0$。
- 柯西积分公式：$f(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-a}dz$。
- 高阶导数公式：$f^{(n)}(a)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz$。
- 解析函数由边界值唯一决定一切点与各阶导数。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。
解析函数的映射 w = z² 是保角的——这正是柯西积分定理"积分与路径无关"的几何背景：解析域内的网格处处保角。