本章目标
- 掌握数项级数敛散性的基本概念与几何级数、$p$ 级数结论。
- 熟练运用比较、比值、根值判别法。
- 掌握幂级数的收敛半径、收敛域求法。
- 熟记 $e^x,\sin x,\cos x,\dfrac1{1-x}$ 的泰勒/麦克劳林展开。
- 理解傅里叶级数系数公式，掌握奇、偶函数的正弦/余弦展开。
> 核心提示：级数研究“无限求和”。判定一个级数是否收敛（和是否有限），是所有展开与应用的前提。
一、数项级数敛散性
称 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n = u_1+u_2+\cdots$ 为数项级数，其部分和 $S_N=\sum_{n=1}^N u_n$。若 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 存在且有限，则称级数收敛，否则发散。
等比（几何）级数
$$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}\quad (|r|<1),\qquad |r|\ge1\text{ 时发散}$$
$p$ 级数
$$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^p}\quad\text{当 }p>1\text{ 收敛，当 }p\le1\text{ 发散}$$
必要条件：若级数收敛，则通项 $u_n\to0$（反之不真，如调和级数）。
二、敛散性判别法
比较判别法
$$\text{若 }0\le u_n\le v_n\text{ 且 }\sum v_n\text{ 收敛，则 }\sum u_n\text{ 收敛}$$
比值判别法（达朗贝尔）
$$\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|,\quad \rho<1\text{ 收敛，}\rho>1\text{ 发散，}\rho=1\text{ 不定}$$
根值判别法（柯西）
$$\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|},\quad \rho<1\text{ 收敛，}\rho>1\text{ 发散，}\rho=1\text{ 不定}$$
交错级数满足莱布尼茨条件（$u_n$ 单调减趋于 $0$）则收敛。
三、幂级数与收敛半径
形如 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 的级数称为幂级数。使级数收敛的 $x$ 构成收敛区间，端点单独判定得收敛域。
收敛半径
$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\quad\text{（比值法）},\qquad R=\frac1{\limsup\sqrt[n]{|a_n|}}\quad\text{（根值法）}$$
在 $(-R,R)$ 内幂级数可逐项求导、逐项积分，且收敛半径不变。
四、泰勒展开
若 $f$ 在 $x_0$ 处无穷次可导，则泰勒级数为
泰勒展开
$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
常用麦克劳林展开（须熟记）
$$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots,\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$
$$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+\cdots\quad (|x|<1)$$
五、傅里叶级数
周期为 $2\pi$ 的函数可展开为正弦与余弦的叠加：
傅里叶级数
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big)$$
系数公式
$$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx\ (n\ge0),\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx\ (n\ge1)$$
奇函数展开为正弦级数（$a_n=0$）；偶函数展开为余弦级数（$b_n=0$）。在非连续点处级数收敛于左右极限的平均值。
交互演示：方波傅里叶合成
下方动画展示方波的傅里叶部分和。拖动滑块增大谐波项数 $N$，青色曲线会越来越贴近灰色目标方波。注意：即便 $N$ 很大，在跳变点附近仍出现约 $9\%$ 的吉布斯（Gibbs）现象过冲，这是傅里叶展开的固有特征。
例题与解答
例题1（收敛半径）
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n\cdot 2^n}$ 的收敛半径与收敛域。
解： $a_n=\dfrac1{n2^n}$，则
$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n}=2.$$
端点：$x=2$ 时 $\sum\frac1n$ 发散；$x=-2$ 时 $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 收敛。故收敛域为 $[-2,2)$。
例题2（泰勒展开）
写出 $e^x$ 与 $\sin x$ 在 $x=0$ 处的前四项展开。
解：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3),$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4).$$
例题3（方波傅里叶系数）
求周期 $2\pi$ 的奇方波 $f(x)=\begin{cases}1,&0 解： $f$ 为奇函数，故 $a_n=0$。 $$b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx\,dx=\frac{2(1-\cos n\pi)}{n\pi}=\begin{cases}\dfrac{4}{n\pi},&n\text{ 奇数}\\0,&n\text{ 偶数}\end{cases}.$$ 故 $f(x)=\dfrac4\pi\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$。
本章小结
- 等比级数 $|r|<1$ 收敛；$\sum n^{-p}$ 在 $p>1$ 收敛（调和级数 $p=1$ 发散）。
- 比较、比值、根值判别法用于判定正项级数敛散。
- 收敛半径 $R=\lim\left|a_n/a_{n+1}\right|$；收敛区间内可逐项求导、积分。
- $e^x=\sum x^n/n!$，$\sin x$、$\cos x$、$\dfrac1{1-x}$ 的麦克劳林展开须熟记。
- 傅里叶级数：$a_n,b_n$ 由积分给出；奇/偶函数分别只剩正弦/余弦项。
- 傅里叶部分和逼近方波时存在 Gibbs 现象过冲。
> 物理联系：傅里叶级数是信号分解为频率分量的数学基础，广泛应用于声学、电磁学与量子力学。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。