本章目标
- 理解多元函数的定义域、几何意义与极限概念。
- 掌握偏导数的计算与几何意义。
- 理解全微分，会用全微分做近似计算。
- 掌握复合函数（链式法则）与隐函数求导。
- 掌握方向导数与梯度，理解“梯度方向即增长最快方向”。
- 掌握二重积分、三重积分（直角坐标与极坐标/柱面坐标）。
- 理解曲线积分、格林公式，以及曲面积分、高斯公式与斯托克斯公式。
> 核心提示：多元微积分是单变量微积分的自然推广，关键在于“固定其余变量、对单一变量求变化率”——即偏导数思想。
一、多元函数与极限
设 $D\subset\mathbb{R}^2$，若对 $D$ 中每一点 $(x,y)$ 都有唯一实数 $z$ 与之对应，则称 $z=f(x,y)$ 为二元函数，$D$ 为定义域。几何上其图像是 $\mathbb{R}^3$ 中的曲面。
二重极限定义
$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A \iff \forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,\delta>0,\ \text{当 }0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\text{ 时 }|f(x,y)-A|<\varepsilon$$
> 二元极限要求沿任意路径趋近都得同一值；若两条路径极限不同，则极限不存在。
二、偏导数
固定 $y$，对 $x$ 求导得到对 $x$ 的偏导数；同理得对 $y$ 的偏导数。
偏导数定义
$$f_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
$$f_y(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$
几何意义：$f_x$ 是曲面被平面 $y=y_0$ 截得曲线在 $x$ 方向的切线斜率；$f_y$ 类似。二阶偏导记为 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$、$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$ 等。
三、全微分
若增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 可写成
全微分
$$\Delta z = f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y + o\big(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\big),$$
$$dz = f_x\,dx + f_y\,dy$$
则称 $f$ 在 $(x,y)$ 处可微，全微分 $dz$ 是增量 $\Delta z$ 的线性主部。可微必连续，且偏导数存在；但偏导数存在不一定可微。
> 近似公式：$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_x\Delta x+f_y\Delta y$。
四、链式法则
设 $z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，则
多元复合函数求导
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$
若 $z=f(x,y)$ 且 $y=y(x)$（隐函数），两边对 $x$ 求导，遇 $y$ 视为 $x$ 的函数并乘 $y'$，再解出 $y'$。
五、方向导数与梯度
沿单位方向 $\vec l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 的方向导数衡量函数在该方向的变化率：
方向导数
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta$$
梯度
$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$
由 $\dfrac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot\vec l=\|\nabla f\|\cos\theta$ 知：当 $\theta=0$ 即方向与梯度一致时方向导数最大，故梯度方向是函数值增长最快的方向，其模 $\|\nabla f\|$ 为最大增长率。
六、二重积分与三重积分
二重积分（直角坐标）
$$\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\!\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$
极坐标变换
$$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$$
当积分域为圆、扇形时，极坐标常大幅简化计算。三重积分 $\iiint_\Omega f\,dV$ 可用直角坐标、柱面坐标 $(r,\theta,z)$ 或球面坐标 $(\rho,\varphi,\theta)$。
七、曲线积分与格林公式
对坐标的曲线积分 $\displaystyle\oint_L P\,dx+Q\,dy$ 描述沿闭合曲线 $L$（正向）的功等累积量。
格林公式
$$\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$$
其中 $D$ 为 $L$ 所围闭区域。当 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$ 时积分与路径无关（保守场）。
八、曲面积分与高斯/斯托克斯公式
高斯公式（散度定理）
$$\oiint_{\Sigma} \vec F\cdot d\vec S=\iiint_\Omega \nabla\cdot\vec F\,dV$$
斯托克斯公式
$$\oint_L \vec F\cdot d\vec r=\iint_{\Sigma}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S$$
高斯公式把闭曲面 $\Sigma$ 上的通量转化为其内部 $\Omega$ 的散度体积分；斯托克斯公式把闭曲线 $L$ 的环量转化为曲面 $\Sigma$ 的旋度通量。二者是多元微积分基本定理在二维、三维的推广。
交互演示：二元函数曲面
下方线框展示曲面 $z=\cos x\,\sin y$ 在定义域 $[-\pi,\pi]^2$ 上的形状。点击按钮可暂停/播放其旋转，便于从各个角度观察“波峰—波谷”交替的鞍点结构（原点附近为鞍点）。
例题与解答
例题1（偏导数与全微分）
设 $f(x,y)=x^3y+2xy^2$，求 $f_x$、$f_y$ 及在点 $(1,2)$ 处的全微分 $dz$。
解：
$$f_x=3x^2y+2y^2,\qquad f_y=x^3+4xy.$$
在 $(1,2)$ 处：$f_x(1,2)=3\cdot1\cdot2+2\cdot4=14$，$f_y(1,2)=1+4\cdot1\cdot2=9$。故
$$dz=14\,dx+9\,dy.$$
例题2（梯度方向）
求 $f(x,y)=x^2-y^2$ 在点 $(1,1)$ 处的梯度，并说明沿哪个方向函数值增长最快。
解：
$$\nabla f=(2x,-2y),\quad \nabla f(1,1)=(2,-2).$$
沿方向 $\vec l=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)$（即梯度方向）函数值增长最快，最大增长率为 $\|\nabla f(1,1)\|=2\sqrt2$。
例题3（二重积分）
计算 $\displaystyle\iint_D (x^2+y^2)\,dA$，其中 $D$ 为单位圆盘 $x^2+y^2\le 1$。
解： 用极坐标：
$$\iint_D (x^2+y^2)\,dA=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^3\,dr=2\pi\cdot\frac14=\frac{\pi}{2}.$$
本章小结
- 偏导数是“固定其余变量求单变量导数”：$\dfrac{\partial f}{\partial x}$、$\dfrac{\partial f}{\partial y}$。
- 全微分 $dz=f_x\,dx+f_y\,dy$，是增量的线性主部。
- 链式法则：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}$。
- 梯度 $\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$ 方向为增长最快方向。
- 二重积分可用极坐标 $dA=r\,dr\,d\theta$ 简化；三重积分可用柱面/球面坐标。
- 格林公式 $\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dA$。
- 高斯公式与斯托克斯公式分别联系闭曲面通量与旋度、闭曲线环量与旋度。
> 物理联系：梯度对应力场最大上升方向，散度对应源强，旋度对应旋转，三者统一了场论语言。
互动演示
拖动下方控件观察动态过程。