§1
极限是微积分的基石：它用"无限逼近"的方式严格刻画函数在某一点附近的行为，由此引出连续、导数与积分。
本章目标
- 理解函数的概念（映射、复合、初等函数）。
- 建立极限的直觉，并掌握 $\varepsilon$-$\delta$ 严格定义。
- 熟练运用极限运算法则与两个重要极限。
- 理解连续与间断的概念，会判断间断点类型。
一、函数回顾
定义. 设 $A,B$ 为非空集合，若对 $A$ 中每一个元素 $x$，按某种对应法则 $f$ 都有 $B$ 中唯一确定的元素 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为从 $A$ 到 $B$ 的映射，记作 $y=f(x)$。当 $A,B\subset\mathbb{R}$ 时称 $f$ 为函数，$x$ 叫自变量，$y$ 叫因变量。
常见初等函数由常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数经有限次四则运算与复合得到，如 $e^x$、$\ln x$、$\sin x$、$\sqrt{x}$ 等。
复合函数：若 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则 $y=f\big(g(x)\big)$ 是 $x$ 的复合函数。
二、极限的直觉
极限研究的是"当 $x$ 无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 趋向于什么值"。
$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
直觉读法：无论要求 $f(x)$ 多接近 $L$，只要把 $x$ 限制在足够靠近 $a$ 的范围内（但 $x\neq a$），$f(x)$ 就一定能满足。注意极限关心的是趋势，与 $f(a)$ 是否等于 $L$ 甚至 $f(a)$ 是否存在都无关。
单、双侧极限：当 $x$ 只从左侧（大于 $a$）趋近时记作 $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$（右极限），从左侧趋近记作 $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$（左极限）。极限存在的充要条件是
$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L$$
三、极限的严格定义（$\varepsilon$-$\delta$ 语言）
定义. 设 $f(x)$ 在 $a$ 的某去心邻域内有定义。若对任意给定的 $\varepsilon>0$，总存在 $\delta>0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时恒有
$$|f(x)-L|<\varepsilon,$$
则称 $L$ 为 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$。
要点：
- $\varepsilon$ 代表"目标精度"，由你任意给定；
- $\delta$ 代表"控制 $x$ 离 $a$ 的距离"，用来保证精度；
- 顺序必须是"任给 $\varepsilon$，存在 $\delta$"，$\delta$ 一般依赖 $\varepsilon$。
数列极限类似：对 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|a_n-L|<\varepsilon$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$。
四、无穷小与无穷大
若 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$，称 $f(x)$ 为 $x\to a$ 时的无穷小。无穷小之间可比较阶：
- 若 $\lim \frac{\alpha}{\beta}=0$，称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小（$\alpha=o(\beta)$）；
- 若极限为非零常数 $C$，称 $\alpha$ 与 $\beta$ 同阶；特别地 $C=1$ 时称等价，记作 $\alpha\sim\beta$。
常用等价无穷小（$x\to0$）：
$$\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},\quad \ln(1+x)\sim x,\quad e^x-1\sim x,\quad (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$$
若 $\lim f(x)=\infty$，称 $f(x)$ 为无穷大（精确说是无穷大量，描述绝对值无限增大）。
五、极限运算法则
若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$（同一极限过程），则
$$ \lim\big[f(x)\pm g(x)\big]=A\pm B,\qquad \lim\big[f(x)g(x)\big]=AB,\qquad \lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\ (B\neq0). $$
对复合函数，若 $\lim\limits_{u\to b}g(u)=A$ 且 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$，在适当条件下 $\lim\limits_{x\to a}g(f(x))=A$。
未定式：$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 不能直接套用法则，需化简、因式分解、有理化、等价无穷小替换或洛必达法则（见导数章）。
六、两个重要极限
$$ \boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1} \qquad\text{与}\qquad \boxed{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e} $$
第二式的变形：$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$，以及 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$。它定义了自然常数 $e\approx2.71828$。
七、连续与间断
定义. 若 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$，则称 $f$ 在 $x=a$ 处连续。即"极限值 = 函数值"。等价地，要求 $f(a)$ 有定义、极限存在、且二者相等。
在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。基本初等函数在其定义域内连续。
间断点：不满足连续条件的点。按左右极限是否都存在分类：
- 可去间断点：左右极限相等但不等于函数值（或函数无定义）；
- 跳跃间断点：左右极限存在但不相等；
- 第二类间断点：至少一侧极限不存在（如无穷间断点 $x=0$ 处的 $1/x$）。
闭区间上连续函数的性质：
- 有界性：在 $[a,b]$ 上连续则必有界；
- 最值定理：必取得最大值与最小值；
- 介值定理：取遍最大值与最小值之间的所有值；特别地，若 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 内存在零点（零点定理）。
例题1
用 $\varepsilon$-$\delta$ 定义证明 $\displaystyle\lim_{x\to3}(2x-1)=5$。
解： 任给 $\varepsilon>0$，要找 $\delta>0$ 使当 $0<|x-3|<\delta$ 时
$$|(2x-1)-5|=|2x-6|=2|x-3|<\varepsilon.$$
只需令 $|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}$。故取 $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$（或任意更小的正数），则当 $0<|x-3|<\delta$ 时，
$$|(2x-1)-5|=2|x-3|<2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,$$
定义成立，证毕。
例题2
求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}$。
解： 令整体与重要极限对照，利用 $\sin u\sim u\ (u\to0)$ 或标准极限：
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} =\lim_{x\to0}\left(3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}\right) =3\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=3\cdot1=3.$$
（等价无穷小法：$\sin(3x)\sim 3x$，故原式 $=\lim\frac{3x}{x}=3$。）
本章小结
- 极限描述"无限逼近"的趋势，与函数在该点是否有定义无关。
- $\varepsilon$-$\delta$ 定义的核心顺序：任给 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-a|<\delta$ 时 $|f(x)-L|<\varepsilon$。
- 极限存在 $\iff$ 左右极限存在且相等。
- 两个重要极限：$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ 与 $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$。
- 连续 ⇔ $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$；间断点分可去、跳跃、第二类。
- 闭区间连续函数有界、有最值、具介值性（含零点定理）。
> 可视化联系：在函数图像上，连续就是"笔不离纸"地画出；极限的 $\varepsilon$-$\delta$ 对应着在 $y=L$ 处画一条宽为 $2\varepsilon$ 的带，总能找到 $x=a$ 附近宽为 $2\delta$ 的窗口使曲线全部落带内。
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