函数、极限与连续

本章目标

理解函数的概念（映射、复合、初等函数）。
建立极限的直觉，并掌握 ε-δ 严格定义。
熟练运用极限运算法则与两个重要极限。
理解连续与间断的概念，会判断间断点类型。

极限是微积分的基石：用"无限逼近"严格刻画函数在一点附近的行为，由此引出连续、导数与积分。

一、函数回顾

定义. 设 $A, B$ 为非空集合，若对 $A$ 中每个 $x$，按法则 $f$ 都有 $B$ 中唯一确定的 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为映射，记作 $y = f(x)$。当 $A, B \subset \mathbb{R}$ 时称 $f$ 为函数。

常见初等函数由常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数经有限次四则运算与复合得到，如 $e^{x}$、$\ln x$、$\sin x$、$\sqrt{x}$ 等。

复合函数 $$y = f\big(g(x)\big),\quad \text{其中 } y = f(u),\ u = g(x)$$

二、极限的直觉

极限研究"当 $x$ 无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 趋向于什么值"：

函数极限 $$\lim_{x\to a} f(x) = L$$

极限只关心趋势，与 $f(a)$ 是否等于 $L$、甚至 $f(a)$ 是否存在都无关。

极限存在的充要条件（左右极限相等） $$\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L$$

三、极限的严格定义（ε-δ 语言）

定义. 设 $f(x)$ 在 $a$ 的某去心邻域内有定义。若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时恒有

$$|f(x) - L| < \varepsilon$$

则称 $L$ 为 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时的极限，记作 $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L$。

$\varepsilon$ 代表"目标精度"，由你任意给定；
$\delta$ 代表"控制 $x$ 离 $a$ 的距离"，用来保证精度；
顺序必须是"任给 $\varepsilon$，存在 $\delta$"，$\delta$ 一般依赖 $\varepsilon$。

数列极限：对 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $|a_n - L| < \varepsilon$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$。

四、无穷小与无穷大

若 $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = 0$，称 $f(x)$ 为无穷小。无穷小之间可比较阶：

$\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = 0 \Rightarrow \alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小，记作 $\alpha = o(\beta)$；
$\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = C$（非零常数）$\Rightarrow$ 同阶；$C = 1$ 时称等价，记作 $\alpha \sim \beta$。

常用等价无穷小（$x\to 0$） $$\sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2},\quad \ln(1+x) \sim x,\quad e^x - 1 \sim x,\quad (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$$

五、极限运算法则

若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$（同一极限过程），则

$$\lim\big[f(x)\pm g(x)\big] = A \pm B,\qquad \lim\big[f(x)g(x)\big] = AB,\qquad \lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\ (B\neq0).$$

未定式：$\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$ 不能直接套用法则，需化简、因式分解、等价无穷小替换或洛必达法则。

六、两个重要极限

$$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1}\qquad\text{与}\qquad\boxed{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e}$$

第二式的变形：$\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x} = e$，它定义了自然常数 $e \approx 2.71828$。

七、连续与间断

定义. 若 $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$，则称 $f$ 在 $x = a$ 处连续。

间断点（按左右极限是否都存在分类）：

可去间断点：左右极限相等但不等于函数值；
跳跃间断点：左右极限存在但不相等；
第二类间断点：至少一侧极限不存在（如无穷间断点 $x=0$ 处的 $1/x$）。

闭区间上连续函数的三个性质 $$\text{有界性}\cdot\text{最值定理}\cdot\text{介值定理；特别地若 } f(a)f(b) < 0\text{，则 }(a,b)\text{ 内存在零点（零点定理）}$$

例题与解答

例题1

用 $\varepsilon$-$\delta$ 定义证明 $\displaystyle\lim_{x\to3}(2x - 1) = 5$。

解：任给 $\varepsilon > 0$，要找 $\delta > 0$ 使当 $0 < |x-3| < \delta$ 时 $$|(2x-1)-5| = |2x-6| = 2|x-3| < \varepsilon.$$ 只需令 $|x-3| < \dfrac{\varepsilon}{2}$。故取 $\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$，则当 $0 < |x-3| < \delta$ 时 $$|(2x-1)-5| = 2|x-3| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,$$ 定义成立，证毕。

例题2

求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}$。

解： $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to0}\left(3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}\right) = 3\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3\cdot 1 = 3.$$ （等价无穷小法：$\sin(3x)\sim 3x$，原式 $= \lim\dfrac{3x}{x} = 3$。）

本章小结

极限描述"无限逼近"的趋势，与函数在该点是否有定义无关。
ε-δ 定义的核心顺序：任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x-a| < \delta$ 时 $|f(x)-L| < \varepsilon$。
极限存在 $\iff$ 左右极限存在且相等：即 $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)$。
两个重要极限：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$ 与 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$。
连续 $\iff \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$；间断点分可去、跳跃、第二类。
闭区间连续函数有界、有最值、具介值性（含零点定理）。

可视化联系：连续就是"笔不离纸"地画出曲线；ε-δ 对应在 $y=L$ 处画一条宽为 $2\varepsilon$ 的带，总能找到 $x=a$ 附近宽为 $2\delta$ 的窗口使曲线全部落在带内。