§1
积分与导数互为逆运算：定积分把"分割—近似—求和—取极限"的黎曼思想变成计算面积的精确工具，而不定积分则是求导的逆过程。牛顿-莱布尼茨公式将二者统一。
本章目标
- 理解不定积分与原函数的关系。
- 掌握定积分的黎曼和定义与几何意义。
- 熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法。
- 了解反常积分的收敛性。
一、不定积分
若在区间 $I$ 上 $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的一个原函数。$f$ 的全体原函数称为不定积分：
$$\int f(x)\,dx = F(x)+C,\qquad F'(x)=f(x).$$
$C$ 为任意常数（积分常数）。基本积分公式（与导数公式对应）：
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1),\quad \int e^x\,dx=e^x+C,\quad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\quad \int \sin x\,dx=-\cos x+C.$$
线性性质：$\displaystyle\int\big[\alpha f(x)+\beta g(x)\big]dx=\alpha\int f\,dx+\beta\int g\,dx$。
二、定积分的定义
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。将 $[a,b]$ 任意分成 $n$ 个小区间，取点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作和
$$S_n=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i,\qquad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$$
令 $\lambda=\max_i\Delta x_i$。若当 $\lambda\to0$ 时 $S_n$ 的极限存在且与分割、取点方式无关，则称该极限为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分：
$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i.$$
几何意义：当 $f(x)\ge0$ 时，定积分等于曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a,b]$ 上围成的面积。
定积分的基本性质：
- 线性：$\int_a^b[\alpha f+\beta g]dx=\alpha\int_a^b f\,dx+\beta\int_a^b g\,dx$；
- 区间可加性：$\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$；
- 若 $f(x)\ge0$，则 $\int_a^b f\,dx\ge0$；特别地 $\int_a^a f\,dx=0$。
三、牛顿-莱布尼茨公式
定理. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 的任一原函数（即 $F'=f$），则
$$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).}$$
记 $F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)$。该公式把"求定积分"转化为"求原函数"，是微积分的核心定理。
四、换元积分法
第一类换元（凑微分）：利用 $dF(u)=f(u)\,du$，
$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\Big|_{u=g(x)}.$$
第二类换元：令 $x=\varphi(t)$，$\varphi$ 单调可导且 $\varphi'(t)\neq0$，则
$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta} f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)\,dt,\quad \text{其中 }\varphi(\alpha)=a,\ \varphi(\beta)=b.$$
常用代换：根式代换 $t=\sqrt{x}$、三角代换 $x=a\sin t$（处理 $\sqrt{a^2-x^2}$）等。
五、分部积分法
由乘积求导公式 $(uv)'=u'v+uv'$ 积分得：
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du,\qquad\text{或}\qquad \int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du.$$
适用于 $\int x e^x dx$、$\int x\ln x\,dx$、$\int x\sin x\,dx$、$\int e^x\sin x\,dx$ 等。选择 $u$ 的一般原则（LIATE）：对数、反三角、代数、三角、指数，优先把排在前面的设为 $u$。
六、反常积分
无穷区间：$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$，极限存在称收敛，否则发散。
无界函数（瑕积分）：若 $f$ 在 $a$ 附近无界，则 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx$。
判别示例（p-积分）：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx$ 当 $p>1$ 时收敛，$p\le1$ 时发散。
例题1
计算 $\displaystyle\int_0^1 (3x^2+2x)\,dx$。
解： 先求原函数：$\int(3x^2+2x)dx = x^3+x^2+C$。由牛顿-莱布尼茨公式，
$$\int_0^1(3x^2+2x)\,dx = \left(x^3+x^2\right)\Big|_0^1 = (1+1)-(0+0)=2.$$
也可由线性性拆分：$\int_0^1 3x^2dx=3\cdot\frac13=1$，$\int_0^1 2x\,dx=2\cdot\frac12=1$，合计 $2$。
例题2
计算 $\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$。
解： 用分部积分，取 $u=x,\ dv=e^x dx$，则 $du=dx,\ v=e^x$：
$$\int_0^1 x e^x\,dx = x e^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (1\cdot e^1-0) - \big(e^x\big|_0^1\big) = e - (e-1)=1.$$
本章小结
- 不定积分 $\int f\,dx=F(x)+C$ 是求导的逆运算，含任意常数 $C$。
- 定积分 $\int_a^b f\,dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$，几何意义为（非负时的）面积。
- 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f\,dx=F(b)-F(a)$，是连接微分与积分的桥梁。
- 换元法（凑微分 / 变量代换）与分部积分 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 是两大计算技术。
- 反常积分通过极限定义收敛性；p-积分 $\int_1^\infty x^{-p}dx$ 当 $p>1$ 收敛。
> 物理联系：位移是速度的积分 $s=\int v\,dt$，作功 $W=\int_a^b F(x)\,dx$，概率密度在 $(-\infty,\infty)$ 上的积分为 1。
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