本章目标
- 理解不定积分与原函数的关系。
- 掌握定积分的黎曼和定义与几何意义。
- 熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法。
- 了解反常积分的收敛性。
一、不定积分
若在区间 $I$ 上 $F'(x)=f(x)$，称 $F$ 为 $f$ 的一个原函数。全体原函数称不定积分：
$$\int f(x)\,dx = F(x)+C,\qquad F'(x)=f(x)$$
基本积分公式
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1),\quad \int e^x\,dx=e^x+C,\quad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\quad \int \sin x\,dx=-\cos x+C$$
线性性质：$\displaystyle\int\big[\alpha f(x)+\beta g(x)\big]dx = \alpha\int f\,dx + \beta\int g\,dx$。
二、定积分的定义
将 $[a,b]$ 分为 $n$ 个小区间，取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作黎曼和 $S_n=\sum f(\xi_i)\Delta x_i$。令 $\lambda=\max \Delta x_i$，则
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i$$
几何意义：当 $f(x) \ge 0$ 时，定积分等于曲线与 $x$ 轴在 $[a,b]$ 上围成的面积。
基本性质
$$\text{线性}\cdot\text{区间可加 }\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\cdot \int_a^a f\,dx = 0$$
三、牛顿-莱布尼茨公式
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 的任一原函数（$F'=f$），则
$$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = F(x)\Big|_a^b}$$
该公式把"求定积分"转化为"求原函数"，是微积分的核心定理，连接了微分与积分。
四、换元积分法
第一类换元（凑微分）
$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\Big|_{u=g(x)}$$
第二类换元（变量代换）
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)\,dt\quad(x = \varphi(t),\ \varphi(\alpha)=a,\ \varphi(\beta)=b)$$
常用代换：根式代换 $t=\sqrt{x}$、三角代换 $x=a\sin t$（处理 $\sqrt{a^2-x^2}$）等。
五、分部积分法
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du,\qquad\text{或}\qquad \int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du$$
适用于 $\int x e^x dx$、$\int x\ln x\,dx$、$\int e^x\sin x\,dx$ 等。选 $u$ 的 LIATE 原则：对数、反三角、代数、三角、指数，靠前者优先作 $u$。
六、反常积分
$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx\quad\text{（极限存在称收敛）}$$
p-积分判别
$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx\ \text{ 当 } p > 1 \text{ 收敛，} p \le 1 \text{ 发散}$$
例题与解答
例题1
计算 $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 + 2x)\,dx$。
解：原函数 $\int(3x^2+2x)dx = x^3 + x^2 + C$。由牛顿-莱布尼茨公式，
$$\int_0^1(3x^2+2x)\,dx = \left(x^3+x^2\right)\Big|_0^1 = (1+1) - 0 = 2.$$
也可拆分：$\int_0^1 3x^2dx = 1$，$\int_0^1 2x\,dx = 1$，合计 $2$。
例题2
计算 $\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$。
解：分部积分，取 $u=x,\ dv=e^x dx$，则 $du=dx,\ v=e^x$：
$$\int_0^1 x e^x\,dx = x e^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1.$$
本章小结
- 不定积分 $\int f\,dx = F(x)+C$ 是求导的逆运算，含任意常数 $C$。
- 定积分 $\displaystyle\int_a^b f\,dx=\lim_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$，几何意义为（非负时的）面积。
- 牛顿-莱布尼茨公式：$\displaystyle\int_a^b f\,dx = F(b)-F(a)$，是连接微分与积分的桥梁。
- 换元法（凑微分 / 变量代换）与分部积分 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 是两大计算技术。
- 反常积分通过极限定义收敛性；p-积分 $\int_1^\infty x^{-p}dx$ 当 $p > 1$ 收敛。
物理联系：位移是速度的积分 $s = \int v\,dt$，作功 $W = \int_a^b F(x)\,dx$，概率密度在全空间的积分为 1。