本章目标
- 从变化率直觉出发，掌握导数的定义。
- 熟练运用四则运算、复合函数（链式法则）、隐函数求导法则。
- 理解微分的概念及其与导数的关系。
- 了解中值定理与泰勒公式，体会其理论价值。
一、导数概念
变化率直觉：物体从 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的平均速度为 $\bar v = \dfrac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$。令 $\Delta t\to0$，这一平均值的极限就是 $t$ 时刻的瞬时速度。
导数定义
$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
几何意义：导数 $f'(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率；导数也写作 $\dfrac{dy}{dx}$、$y'$ 或 $\dfrac{df}{dx}$。
基本导数公式（须熟记）
$$
\begin{aligned}
&(x^n)'=nx^{n-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a,\\
&(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\ln x)'=\frac1x,\quad (\tan x)'=\sec^2 x.
\end{aligned}
$$
二、求导法则
四则运算（$u, v$ 可导）
$$(u \pm v)' = u' \pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\ (v\neq0).$$
复合函数：链式法则
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},\qquad\text{即}\qquad (f\circ g)'(x) = f'\big(g(x)\big)\,g'(x)$$
反函数求导
$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$$
隐函数求导：方程 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$，两边对 $x$ 求导，遇 $y$ 视为 $x$ 的函数（乘 $y'$），再解出 $y'$。
三、高阶导数
$f'(x)$ 的导数叫二阶导数 $f''(x) = \dfrac{d^2y}{dx^2}$；依次可得 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$。例如
$$(e^x)^{(n)} = e^x,\qquad (\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$$
四、微分
若增量 $\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ 可写为 $\Delta y = A\,\Delta x + o(\Delta x)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，微分记为
$$dy = df = A\,\Delta x = f'(x_0)\,\Delta x = f'(x_0)\,dx$$
微分是增量的线性主部，可用于近似：$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$。
五、中值定理
- 罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导且 $f(a)=f(b)$，则 $\exists\,\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
- 拉格朗日中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，则 $\exists\,\xi\in(a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
- 柯西中值定理：若 $f,g$ 可导且 $g'\neq0$，则 $\exists\,\xi\in(a,b)$ 使 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。
洛必达法则（$0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型）
$$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad\text{（右侧极限存在时）}$$
六、泰勒公式
带拉格朗日余项的泰勒展开
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$$
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
麦克劳林公式（$x_0=0$）
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n),\qquad \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$
例题与解答
例题1
设 $f(x) = \ln(1+x^2)$，求 $f'(x)$。
解：令 $u = 1+x^2$，则 $f(x)=\ln u$，由链式法则
$$f'(x)=\frac{d}{du}(\ln u)\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^2}.$$
例题2
求曲线 $y = x^3 - 3x$ 在点 $(2,2)$ 处的切线方程，并求二阶导数 $y''$。
解：$y' = 3x^2 - 3$，在 $x=2$ 处斜率 $y'(2)=3\cdot 4-3=9$。
切线：$y-2 = 9(x-2)\ \Rightarrow\ y = 9x - 16$。
二阶导数 $y'' = (3x^2-3)' = 6x$，故 $y''(2)=12$。
本章小结
- 导数 $f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，几何意义为切线斜率。
- 链式法则 $(f\circ g)' = f'(g(x))\,g'(x)$ 是复合函数求导核心。
- 微分 $dy = f'(x)\,dx$，是增量的线性主部，可用于近似。
- 拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$；洛必达法则处理未定式。
- 泰勒公式用多项式局部逼近函数，余项 $R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。
- 物理中导数即变化率：速度是位移的导数，加速度是速度的导数。
物理联系：位移 $s(t)$ 的导数是速度 $v(t)$，速度的导数是加速度 $a(t)$。牛顿第二定律 $F=ma$ 把力与位移的二阶导数联系起来。