§1
导数是"瞬时变化率"的严格数学表达：把平均速度在时间间隔趋于零时的极限，抽象为函数在一点处的导数，由此构建整个微分学。
本章目标
- 从变化率直觉出发，掌握导数的定义。
- 熟练运用四则运算、复合函数（链式法则）、隐函数求导法则。
- 理解微分的概念及其与导数的关系。
- 了解中值定理与泰勒公式，体会其理论价值。
一、导数概念
变化率直觉：物体从 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的平均速度为 $\bar v=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$。令 $\Delta t\to0$，这一平均值的极限就是 $t$ 时刻的瞬时速度。
定义. 设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限
$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，该极限值称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数。等价记法：
$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$
若记 $y=f(x)$，导数也写作 $\dfrac{dy}{dx}$、$y'$ 或 $\dfrac{df}{dx}$。
几何意义：导数 $f'(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。
基本导数公式（须熟记）：
$$ \begin{aligned} &(x^n)'=nx^{n-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a,\\ &(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\ln x)'=\frac1x,\quad (\tan x)'=\sec^2 x. \end{aligned} $$
二、求导法则
四则运算（设 $u,v$ 可导）：
$$(u\pm v)'=u'\pm v',\qquad (uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\neq0).$$
复合函数（链式法则）：若 $y=f(u),\ u=g(x)$，则
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},\qquad\text{即}\qquad (f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\,g'(x).$$
隐函数求导：方程 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$，两边对 $x$ 求导，遇到 $y$ 视为 $x$ 的函数（乘 $y'$），再解出 $y'$。
反函数求导：若 $y=f(x)$ 单调可导且 $f'(x)\neq0$，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 满足
$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx},\qquad\text{即}\qquad (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}.$$
三、高阶导数
$f'(x)$ 的导数叫二阶导数，记作 $f''(x)$ 或 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$；依次可得 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$。例如 $(e^x)^{(n)}=e^x$，$(\sin x)^{(n)}=\sin\!\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$。
四、微分
定义. 若 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可表示为
$$\Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x)\quad(\Delta x\to0),$$
其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，且称 $A\,\Delta x$ 为微分，记作
$$dy=df=A\,\Delta x=f'(x_0)\,\Delta x=f'(x_0)\,dx.$$
微分是函数增量的线性主部，可用于近似计算：$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$。
五、中值定理
- 罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
- 拉格朗日中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使
$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$$
其微分形式：$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0+\theta\Delta x)\Delta x,\ \theta\in(0,1)$。
- 柯西中值定理：若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导且 $g'\neq0$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$
洛必达法则：对 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，若 $\lim\frac{f'}{g'}$ 存在，则
$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$
六、泰勒公式
若 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则在 $x_0$ 附近有展开
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x).$$
余项拉格朗日型：$R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。取 $x_0=0$ 时称麦克劳林公式，例如
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n),\qquad \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots.$$
例题1
设 $f(x)=\ln(1+x^2)$，求 $f'(x)$。
解： 用链式法则，令 $u=1+x^2$，则 $f(x)=\ln u$，
$$f'(x)=\frac{d}{du}(\ln u)\cdot\frac{du}{dx} =\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x =\frac{2x}{1+x^2}.$$
例题2
求曲线 $y=x^3-3x$ 在点 $(2,2)$ 处的切线方程，并求二阶导数 $y''$。
解： 一阶导数 $y'=3x^2-3$，在 $x=2$ 处斜率为 $y'(2)=3\cdot4-3=9$。
切线方程：
$$y-2=9(x-2)\quad\Rightarrow\quad y=9x-16.$$
二阶导数 $y''=(3x^2-3)'=6x$，故 $y''(2)=12$。
本章小结
- 导数 $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，几何意义为切线斜率。
- 链式法则 $(f\circ g)'=f'(g(x))g'(x)$ 是复合函数求导的核心。
- 微分 $dy=f'(x)dx$，是增量的线性主部，可用于近似。
- 拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$；洛必达法则处理未定式。
- 泰勒公式用多项式局部逼近函数，余项 $R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。
- 物理中导数即变化率：速度是位移的导数，加速度是速度的导数。
> 物理联系：位移 $s(t)$ 的导数是速度 $v(t)$，速度的导数是加速度 $a(t)$。牛顿第二定律 $F=ma$ 本质上把力与位移的二阶导数联系起来。
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